三角形內切圓是指與三角形恰好相切於三角形的內部的圓形，而圓心稱為「內心」，切點稱為「內切點」。三角形內切圓的切點到頂點的距離的平方和具有很高的幾何意義，下面我們將從多個角度來分析這個問題。
三角形內切圓的性質
三角形內切圓的切點到三個頂點的距離分別為$a,b,c$，那麼三個距離的平方和可以表示為：$a^2+b^2+c^2=s^2+r^2+4rR$，其中$s$為三角形的半周長，$r$為內切圓的半徑，$R$為外接圓的半徑。這個公式說明了三角形內切圓相關性質的奧妙之處，其實現方式是內心與三角形的三條邊構成的三條角平分線的交點，能夠縱觀三角形的內部。
應用領域
對於三角形中常用的黑三角問題，黃三角問題和藍三角問題，都可以通過三角形內切圓的相關性質來求解。此外，計算機繪圖、計算機圖形學中也有不少與內切圓有關的演算法。
數值解析
假設三角形的邊長分別為$a,b,c$，那麼三角形內切圓的半徑可以表示為：$r=frac{2S}{a+b+c}$，其中$S$為三角形的面積。進而可以得到三個切點到頂點的距離分別為：
$${egin{aligned}d_{a}=rleft(1+{frac {b}{a}}+{frac {c}{a}}
ight)-r\d_{b}=rleft(1+{frac {a}{b}}+{frac {c}{b}}
ight)-r\d_{c}=rleft(1+{frac {a}{c}}+{frac {b}{c}}
ight)-r\end{aligned}}$$
將這三個距離的平方分別相加，得到最終的結果：
$${egin{aligned}d_{a}^{2}+d_{b}^{2}+d_{c}^{2}&=r^{2}left[left(1+{frac {b}{a}}+{frac {c}{a}}
ight)^{2}+left(1+{frac {a}{b}}+{frac {c}{b}}
ight)^{2}+left(1+{frac {a}{c}}+{frac {b}{c}}
ight)^{2}
ight]-3r^{2}\&=(a+b+c)^{2}end{aligned}}$$
實際應用
三角形內切圓的性質及其相關公式不僅僅只是理論上的純數學概念，而是有很多實用價值的。例如，位於山東省萊西市的中國水晶宮大型綜合性景區內就有一個「天使之翼」雕塑，其底部就是一個邊長為10米的三角形內切圓，據相關資料介紹，這座雕塑採用實心球墨鑄鐵鑄造，雕塑本身重達2.3噸，內切圓的半徑為3.45米左右，據此我們可以計算出三個切點到三個頂點的距離平方和為1000左右。
從以上分析可以看出，三角形內切圓的切點到頂點的距離的平方和不僅僅只是一道數學題，更是一個涉及到多個領域的重要且有用的幾何計算公式。
