平面與平面的距離公式
在平面幾何中，我們經常需要計算平面與平面之間的距離。根據向量的概念，平面與平面的距離可以使用向量的形式進行表示。設有兩個平面：$pi_1$和$pi_2$，其法向量分別為$ extbf{n}_1$和$ extbf{n}_2$，則$pi_1$與$pi_2$之間的距離為：$$d=frac{ extbf{n}_1 cdot extbf{n}_2}{| extbf{n}_1|| extbf{n}_2|}$$其中，$cdot$表示向量的點積，$| |$表示向量的模長。平面與平面的距離應用
平面與平面的距離在實際問題中有著廣泛的應用。下面舉幾個例子。 例一：計算一條直線到一個平面的距離。首先，我們可以通過解析幾何或向量的方法得到該直線所在平面的法向量，然後再使用上述公式進行計算。 例二：計算兩個平面之間的夾角。由於兩個平面的法向量已知，根據向量的夾角公式，兩個平面的夾角可以表示為：$$cos heta=frac{ extbf{n}_1 cdot extbf{n}_2}{| extbf{n}_1|| extbf{n}_2|}$$其中，$ heta$表示兩個平面的夾角。 例三：計算一個空間點到一個平面的距離。我們可以通過求該點所在的垂線與平面的交點，然後計算該點與交點的距離，從而得到點到平面的距離。 以上幾個例子只是平面與平面距離的應用之一，實際問題中還有很多其他的應用。平面與平面的距離計算實例
下面以一個具體的例子來說明如何計算平面與平面的距離。 例：已知兩個平面分別為$pi_1: 2x-y+3z=4$和$pi_2: x+y-z=1$，求兩個平面之間的距離。 解：首先，我們需要求出兩個平面的法向量。對於$pi_1$，其法向量為$ extbf{n}_1=(2,-1,3)$；對於$pi_2$，其法向量為$ extbf{n}_2=(1,1,-1)$。將兩個向量代入公式$d=frac{ extbf{n}_1 cdot extbf{n}_2}{| extbf{n}_1|| extbf{n}_2|}$中，得到： $$egin{aligned} d&=frac{ extbf{n}_1 cdot extbf{n}_2}{| extbf{n}_1|| extbf{n}_2|}\&=frac{(2,-1,3)cdot(1,1,-1)}{sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}\&=frac{-2}{sqrt{14}}end{aligned}$$ 因此，兩個平面之間的距離為$frac{2sqrt{14}}{7}$。 通過以上計算實例，我們可以更好地理解平面與平面的距離公式向量及其應用，同時也對平面幾何有了更深入的認識。
